Conjuntos y subconjuntos
Durante el recreo, el patio de la escuela se llena de niños de primaria. Entre ellos, notamos un grupito que juega con figuritas. Algunas son sólo con imágenes, otras son porciones de rompecabezas para armar figuras más grandes y las hay, incluso, con o sin brillos.
Si tuvieras que ayudarlos a agruparlas, podrías separarlas entre aquellas "para nenas" y "para varones"; o podrías preferir poner juntas todas las que tienen brillos sin importar el tema del que se traten. Así, sin saberlo, irías armando distintos conjuntos. Como ves, tienes varias opciones y, según cuál elijas, en cada pila de figuritas tendrías que incluir distintas de ellas ¡Y habría algunas que quedarían "en medio" de más de un montón! Mencionamos recién la expresión matemática: "
conjuntos". Pero, ¿de qué se trata esta idea? ¡Puedes descubrirlo en este post!
Notación de conjuntos
Conjuntos
Para comprender de qué hablamos en matemáticas cuando nos referimos a “conjuntos”, primero tenemos que reflexionar acerca del significado de esta palabra. ¿Qué es lo primero que viene a nuestra mente?
Podríamos definir un conjunto como una colección. Ésta puede estar compuesta de cosas tan diferentes como se nos ocurra; es por ello que cumplirá aquellas condiciones que reúnan los objetos que la integran.
Estas "cosas" que, de forma general, mencionamos que componen un conjunto, reciben el nombre de miembros o elementos. A su vez, los conjuntos se denominan con cualquiera de las letras del abecedario en mayúscula. Siguiendo con el ejemplo de la introducción podríamos decir que el conjunto A está compuesto por todas las figuritas "para varones" y que otro conjunto B está integrado por aquellas "para nena". Cuando un determinado elemento es parte de un conjunto se dice que cumple la condición de pertenencia.
Ahora bien, para poder definir un conjunto es necesario que indiquemos la propiedad común que poseen todos sus miembros. Así, por ejemplo, algunos conjuntos muy comunes en matemáticas son:
. Conjunto de números pares: {…;2;4;6;8;10;…}
. Conjunto de números impares: {…;1;3;5;7;9;…}
. Conjunto de números naturales: {1;2;3;4;5;…}
. Conjunto de números enteros: {…;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Como puedes ver en los ejemplos, los elementos que componen un conjunto matemático se escriben entre llaves.
Cuando deseamos expresar un conjunto es usual seguir ciertas reglas:
. el nombre del conjunto se escribe con una letra mayúscula y, cada uno de sus elementos, en minúscula;
. la pertenencia de un elemento a cierto conjunto se expresa con el símbolo "pertenece"
(?), por ejemplo a ? N. Es decir, "a pertenece o es un elemento del conjunto N";
. si se quiere expresar que cierto elemento no pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo de "no pertenece"
Esto se lee: “a no pertenece o no es un elemento del conjunto N”
¿Cómo podemos saber si un elemento es parte de un conjunto? Un conjunto está bien definido cuando poseemos un criterio para afirmar que cualquier elemento “a” pertenece, o no, a un conjunto N.
Ejemplo: a un conjunto N, le corresponden los días laborales de la semana. O sea,
N = {lunes,martes,miércoles,jueves,viernes}
Como el criterio establecido es que sean días laborales, sábado y domingo no pertenecen al conjunto N.
Una propiedad muy importante que cumplen TODOS los conjuntos es que un objeto no puede ser, a la vez, un conjunto y un elemento de éste. ¿Qué significa esto? No se acepta que a ? a.
Formas de expresar un conjunto.
Existen dos maneras de expresar un conjunto: por extensión y por comprensión. ¡Veámoslas!
. Por extensión. Se deben nombrar todos los elementos que están contenidos en el conjunto.
Ejemplo:
1) Pertenecen al conjunto B las vocales. Entonces,
B = {a;e;i;o;u}
2) Pertenecen al conjunto C las provincias de la Mesopotamia argentina:
C = {Misiones,Corrientes,Entre Ríos}
. Por comprensión. Se expresa el conjunto indicando la propiedad que lo caracteriza.
Ejemplos:
1) B = {vocales}
2) C = {provincias de la Mesopotamia argentina}
Como vimos, es posible formar una gran variedad de conjuntos y, con una pluralidad de elementos cada uno. Entre todos ellos existen dos que se destacan especialmente:
. Conjunto Universal. Es aquél que posee todos los elementos. Es decir, contiene a todos los demás conjuntos.
. Conjunto vacío. Es un conjunto que no tiene elementos. Se denota con el símbolo Ø
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